Sistem bilangan
Sistem bilangan adalah seperangkat aturan untuk merepresentasikan angka menggunakan tanda numerik yang berbeda. Sistem bilangan diklasifikasikan menjadi dua jenis: non-posisional dan posisional.
Dalam sistem bilangan posisional, nilai setiap digit tidak bergantung pada posisi yang ditempatinya, yaitu pada tempat yang ditempatinya dalam himpunan digit. Dalam sistem angka Romawi, hanya ada tujuh digit: satu (I), lima (V), sepuluh (X), lima puluh (L), seratus (C), lima ratus (D), seribu (M). Dengan menggunakan angka (simbol) ini, angka yang tersisa ditulis dengan penjumlahan dan pengurangan. Misalnya, IV adalah notasi angka 4 (V — I), VI adalah notasi angka 6 (V + I), dan seterusnya. Angka 666 ditulis dalam sistem Romawi sebagai berikut: DCLXVI.
Notasi ini kurang nyaman daripada yang kita gunakan saat ini. Di sini enam ditulis dengan satu simbol (VI), enam puluhan dengan yang lain (LX), enam ratus tiga (DC). Sangat sulit untuk melakukan operasi aritmatika dengan angka yang ditulis dalam sistem angka Romawi. Juga, kerugian umum dari sistem non-posisional adalah kerumitan merepresentasikan angka yang cukup besar di dalamnya sehingga menghasilkan notasi yang sangat rumit.
Sekarang pertimbangkan angka yang sama 666 dalam sistem angka posisional. Di dalamnya, tanda tunggal 6 berarti angka satu jika berada di urutan terakhir, angka puluhan jika berada di urutan kedua dari belakang, dan angka ratusan jika berada di urutan ketiga dari akhir. Prinsip penulisan angka ini disebut posisional (lokal). Dalam pencatatan seperti itu, setiap digit menerima nilai numerik tidak hanya bergantung pada gayanya, tetapi juga pada posisinya saat angka tersebut ditulis.
Dalam sistem bilangan posisional, bilangan apa pun yang direpresentasikan sebagai A = +a1a2a3 … ann-1an dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan
di mana n — jumlah digit terbatas pada gambar sebuah angka, ii angka digit i-go, d — dasar sistem bilangan, i — nomor urut kategori, dm-i — "bobot" kategori i-ro . Digit ai harus memenuhi pertidaksamaan 0 <= a <= (d — 1).
Untuk notasi desimal, d = 10 dan ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Karena bilangan yang terdiri dari satu dan nol dapat dianggap sebagai bilangan desimal atau biner bila digunakan bersama, basis sistem bilangan biasanya ditunjukkan, misalnya (1100)2-biner, (1100)10-desimal.
Di komputer digital, sistem selain desimal banyak digunakan: biner, oktal, dan heksadesimal.
Sistem biner
Untuk sistem ini d = 2 dan di sini hanya diperbolehkan dua digit, yaitu ai = 0 atau 1.
Angka apa pun yang dinyatakan dalam sistem biner direpresentasikan sebagai jumlah produk pangkat basis dua kali digit biner dari bit yang diberikan. Misalnya, angka 101,01 dapat ditulis seperti ini: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, yang sesuai dengan angka dalam sistem desimal: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .
Di sebagian besar komputer digital modern, sistem bilangan biner digunakan untuk mewakili angka dalam mesin dan melakukan operasi aritmatika pada mereka.
Sistem bilangan biner, dibandingkan dengan bilangan desimal, memungkinkan untuk menyederhanakan rangkaian dan rangkaian perangkat aritmatika dan perangkat memori serta meningkatkan keandalan komputer. Digit setiap bit bilangan biner diwakili oleh status "on / off" dari elemen seperti transistor, dioda, yang bekerja dengan andal dalam status "on / off". Kerugian dari sistem biner termasuk kebutuhan untuk menerjemahkan menurut program khusus data digital asli ke dalam sistem bilangan biner dan hasil keputusan menjadi desimal.
Sistem bilangan oktal
Sistem ini memiliki basis d == 8. Angka digunakan untuk mewakili angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Sistem bilangan oktal digunakan di komputer sebagai bantuan dalam mempersiapkan masalah untuk dipecahkan (dalam proses pemrograman), dalam memeriksa pengoperasian mesin, dan dalam men-debug suatu program. Sistem ini memberikan representasi angka yang lebih pendek daripada sistem biner. Sistem bilangan oktal memungkinkan Anda untuk beralih ke sistem biner.
Sistem bilangan heksadesimal
Sistem ini memiliki basis d = 16. 16 karakter digunakan untuk mewakili angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, dan karakter A … F mewakili angka desimal 10, 11, 12, 13, 14 dan 15. Angka heksadesimal (1D4F) 18 akan sesuai dengan desimal 7503 karena (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10
Notasi heksadesimal memungkinkan bilangan biner ditulis lebih padat daripada oktal. Ini menemukan aplikasi di perangkat input dan output dan perangkat tampilan urutan nomor dari beberapa komputer.
Sistem bilangan biner-desimal
Representasi bilangan dalam sistem desimal biner adalah sebagai berikut. Notasi desimal dari angka tersebut diambil sebagai dasar, dan kemudian setiap digitnya (dari 0 hingga 9) ditulis dalam bentuk bilangan biner empat digit yang disebut tetrad, yaitu tidak satu pun tanda yang digunakan untuk mewakili. setiap digit dari sistem desimal, tapi empat.
Misalnya, desimal 647,59 akan sesuai dengan BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
Sistem bilangan biner-desimal digunakan sebagai sistem bilangan perantara dan untuk menyandikan bilangan masukan dan keluaran.
Aturan untuk mentransfer satu sistem angka ke yang lain
Pertukaran informasi antar perangkat komputer dilakukan terutama melalui angka yang diwakili dalam sistem bilangan biner. Namun, informasi disajikan kepada pengguna dalam angka dalam sistem desimal, dan pengalamatan perintah disajikan dalam sistem oktal. Karenanya kebutuhan untuk mentransfer nomor dari satu sistem ke sistem lain dalam proses bekerja dengan komputer. Untuk melakukan ini, gunakan aturan umum berikut.
Untuk mengonversi bilangan bulat dari sistem bilangan apa pun ke sistem bilangan lain, bilangan ini perlu dibagi secara berturut-turut dengan basis sistem baru hingga hasil bagi tidak kurang dari pembagi. Bilangan pada sistem baru harus ditulis dalam bentuk sisa pembagian, dimulai dari yang terakhir yaitu dari kanan ke kiri.
Sebagai contoh, mari ubah desimal 1987 menjadi biner:
Angka desimal 1987 dalam format biner adalah 11111000011, mis. (1987)10 = (11111000011)2
Saat mengubah dari sistem apa pun ke desimal, angka tersebut direpresentasikan sebagai jumlah dari kekuatan basis dengan koefisien yang sesuai, dan kemudian nilai dari jumlah tersebut dihitung.
Sebagai contoh, mari kita ubah bilangan oktal 123 menjadi desimal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, yaitu (123)8 = (83)10
Untuk mentransfer bagian pecahan dari suatu angka dari sistem apa pun ke sistem lain, perlu dilakukan perkalian berturut-turut dari pecahan ini dan bagian pecahan yang dihasilkan dari produk berdasarkan sistem bilangan baru. Bagian pecahan dari suatu bilangan pada sistem baru dibentuk dalam bentuk keseluruhan bagian dari produk yang dihasilkan, dimulai dari yang pertama. Proses perkalian berlanjut hingga angka dengan ketelitian tertentu dihitung.
Sebagai contoh, mari ubah pecahan desimal 0,65625 menjadi sistem bilangan biner:
Karena bagian pecahan dari perkalian kelima hanya terdiri dari nol, perkalian lebih lanjut tidak diperlukan. Ini berarti desimal yang diberikan diubah menjadi biner tanpa kesalahan, mis. (0,65625)10 = (0,10101)2.
Mengubah dari oktal dan heksadesimal ke biner dan sebaliknya tidaklah sulit. Ini karena basis mereka (d — 8 dan d — 16) sesuai dengan bilangan bulat dari dua (23 = 8 dan 24 = 16).
Untuk mengubah bilangan oktal atau heksadesimal menjadi bilangan biner, cukup mengganti masing-masing bilangan tersebut dengan bilangan biner tiga atau empat digit.
Sebagai contoh, mari kita terjemahkan bilangan oktal (571)8 dan bilangan heksadesimal (179)16 ke dalam sistem bilangan biner.
Dalam kedua kasus kami mendapatkan hasil yang sama, yaitu. (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Untuk mengonversi angka dari desimal biner ke desimal, Anda perlu mengganti setiap tetrad angka yang direpresentasikan dalam desimal biner dengan digit yang direpresentasikan dalam desimal.
Sebagai contoh, mari tulis angka (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 dalam notasi desimal, yaitu. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)