Mengapa bilangan kompleks digunakan untuk perhitungan di sirkuit AC

Seperti yang Anda ketahui, bilangan kompleks digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah tipikal dalam teknik kelistrikan. Tapi untuk apa mereka digunakan dan mengapa dilakukan dengan cara ini? Inilah yang akan kami coba pahami selama artikel ini. Faktanya adalah bahwa metode kompleks atau metode amplitudo kompleks cocok untuk menghitung rangkaian AC kompleks. Dan sebagai permulaan, mari kita mengingat kembali beberapa dasar matematika:

Seperti yang Anda lihat, bilangan kompleks z mencakup bagian imajiner dan bagian nyata, yang berbeda satu sama lain dan dilambangkan secara berbeda dalam teks. Bilangan kompleks z sendiri dapat ditulis dalam bentuk aljabar, trigonometri, atau eksponensial:

Latar belakang sejarah

Dipercayai bahwa gagasan bilangan imajiner dimulai pada tahun 1545, ketika ahli matematika, insinyur, filsuf, dokter, dan peramal Italia Girolamo Cardano menerbitkan metode penyelesaian persamaan ini dalam risalahnya "The Great Art", di mana, antara lain, , dia mengakui bahwa Niccolò telah memberinya ide Tartaglia (ahli matematika Italia) 6 tahun sebelum publikasi karya ini. Dalam karyanya, Kradano memecahkan persamaan bentuk:

Dalam proses penyelesaian persamaan ini, ilmuwan terpaksa mengakui adanya beberapa bilangan "tidak nyata", yang kuadratnya akan sama dengan minus satu «-1», yaitu, seolah-olah ada akar kuadrat dari a angka negatif, dan jika sekarang dikuadratkan, akan menjadi angka negatif yang sesuai di bawah akar. Cardano menyatakan aturan perkalian, yang menurutnya:

Selama tiga abad, komunitas matematika sedang dalam proses membiasakan diri dengan pendekatan baru yang diajukan oleh Cardano. Angka imajiner berangsur-angsur mengakar, tetapi ahli matematika enggan menerimanya. Tidak sampai publikasi karya Gauss tentang aljabar, di mana ia membuktikan teorema dasar aljabar, bilangan kompleks akhirnya diterima sepenuhnya, abad ke-19 sudah dekat.

Bilangan imajiner menjadi penyelamat nyata bagi matematikawan karena masalah yang paling kompleks menjadi lebih mudah dipecahkan dengan menerima keberadaan bilangan imajiner.

Jadi segera datang ke teknik listrik. Sirkuit AC terkadang sangat kompleks dan banyak integral harus dihitung untuk menghitungnya, yang seringkali sangat merepotkan.

Akhirnya, pada tahun 1893, insinyur kelistrikan yang brilian, Carl August Steinmetz, berbicara di Chicago pada Kongres Elektroteknik Internasional dengan laporan "Bilangan kompleks dan penerapannya dalam teknik kelistrikan", yang sebenarnya menandai dimulainya penerapan praktis metode kompleks oleh para insinyur. menghitung rangkaian listrik untuk arus AC.

Kita tahu ini dari kursus fisika arus bolak-balik - ini adalah arus yang berubah dari waktu ke waktu baik dalam besaran maupun arah.

Dalam teknologi, ada berbagai bentuk arus bolak-balik, tetapi yang paling umum saat ini adalah arus bolak-balik sinusoidal, inilah yang digunakan di mana-mana, dengan bantuan listrik yang ditransmisikan, dalam bentuk arus bolak-balik, yang dihasilkan, diubah oleh transformator dan dikonsumsi oleh beban. Arus sinusoidal berubah secara berkala sesuai dengan hukum sinusoidal (harmonik).

Nilai efektif arus dan tegangan kurang dari nilai amplitudo akar dua kali:

Dalam metode kompleks, nilai efektif arus dan tegangan ditulis sebagai berikut:

Perhatikan bahwa dalam teknik kelistrikan, satuan imajiner dilambangkan dengan huruf «j», karena huruf «i» sudah digunakan di sini untuk menunjukkan arus.

Dari Hukum Ohm menentukan nilai kompleks dari resistansi:

Penjumlahan dan pengurangan nilai kompleks dilakukan dalam bentuk aljabar, dan perkalian serta pembagian dalam bentuk eksponensial.

Pertimbangkan metode amplitudo kompleks menggunakan contoh sirkuit tertentu dengan nilai tertentu dari parameter utama.

Contoh pemecahan masalah menggunakan bilangan kompleks

Diberikan:

• tegangan koil 50 V,

• resistansi resistor 25 Ohm,

• induktansi koil 500 mH,

• kapasitas listrik kapasitor adalah 30 mikrofarad,

• resistansi koil 10 Ohm,

• frekuensi listrik 50 Hz.

Temukan: pembacaan ammeter dan voltmeter serta wattmeter.

Menjawab:

Pertama-tama, kami menuliskan resistansi kompleks dari elemen yang terhubung seri, yang terdiri dari bagian nyata dan imajiner, kemudian kami menemukan resistansi kompleks dari elemen aktif-induktif.

Mengingat! Untuk mendapatkan bentuk eksponensial, temukan modulus z sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat bagian nyata dan imajiner, dan phi sama dengan arctangen hasil bagi bagian imajiner dibagi dengan bagian nyata.

Kemudian kami menemukan arus dan, karenanya, pembacaan ammeter:

Jadi ammeter menunjukkan arus 0,317 A—itulah arus yang melalui seluruh rangkaian seri.

Sekarang kita akan menemukan resistansi kapasitif kapasitor, lalu kita akan menentukan resistansi kompleksnya:

Kami kemudian menghitung total impedansi kompleks dari rangkaian ini:

Sekarang kami menemukan tegangan efektif yang diterapkan ke rangkaian:

Voltmeter akan menunjukkan tegangan efektif 19,5 volt.

Terakhir, kami menemukan daya yang akan ditampilkan oleh wattmeter, dengan mempertimbangkan perbedaan fase antara arus dan tegangan

Wattmeter akan menunjukkan 3,51 watt.

Sekarang Anda mengerti betapa pentingnya bilangan kompleks dalam teknik kelistrikan. Mereka digunakan untuk perhitungan sirkuit listrik yang nyaman. Banyak alat pengukur elektronik bekerja dengan dasar yang sama.