Hukum Biot-Savart dan teorema sirkulasi vektor induksi magnetik

Pada tahun 1820, ilmuwan Prancis Jean-Baptiste Biot dan Félix Savard, dalam percobaan bersama untuk mempelajari medan magnet arus searah, dengan tegas menetapkan bahwa induksi magnet dari arus searah yang mengalir melalui konduktor dapat dianggap sebagai hasil dari aksi umum semua bagian kabel ini dengan arus. Artinya medan magnet mematuhi prinsip superposisi (prinsip superposisi medan).

Medan magnet yang dibuat oleh sekelompok kabel DC memiliki yang berikut induksi magnetikbahwa nilainya didefinisikan sebagai jumlah vektor dari induksi magnetik yang dibuat oleh masing-masing konduktor secara terpisah. Artinya, induksi B dari konduktor arus searah dapat secara adil diwakili oleh jumlah vektor dari induksi dasar dB milik bagian dasar dl dari konduktor arus searah I yang dianggap.

Praktis tidak realistis untuk mengisolasi bagian dasar dari konduktor arus searah, karena D.C. selalu tertutup.Tetapi Anda dapat mengukur total induksi magnet yang dibuat oleh sebuah kawat, yaitu, yang dihasilkan oleh semua bagian dasar dari sebuah kawat tertentu.

Jadi, hukum Biot-Sovar memungkinkan Anda untuk menemukan nilai induksi magnetik B dari bagian (panjang yang diketahui dl) dari konduktor, dengan arus searah I yang diberikan, pada jarak tertentu r dari bagian konduktor ini dan dalam a arah pengamatan tertentu dari bagian yang dipilih (diatur melalui sinus sudut antara arah arus dan arah dari bagian konduktor ke titik yang diperiksa di ruang dekat konduktor):

Secara eksperimental ditetapkan bahwa arah vektor induksi magnetik mudah ditentukan oleh sekrup kanan atau aturan gimbal: jika arah gerakan translasi gimbal selama rotasinya bertepatan dengan arah arus searah I di kawat, maka arah putaran pegangan gimbal menentukan arah vektor induksi magnetik B yang dihasilkan oleh arus tertentu.

Medan magnet dari kawat pembawa arus lurus, serta ilustrasi penerapan hukum Bio-Savart padanya, ditunjukkan pada gambar:

Jadi, jika kita mengintegrasikan, yaitu menambahkan, kontribusi masing-masing bagian kecil dari konduktor arus konstan ke total medan magnet, kita mendapatkan rumus untuk menemukan induksi magnetik dari konduktor arus pada radius R tertentu darinya. .

Dengan cara yang sama, dengan menggunakan hukum Bio-Savard, Anda dapat menghitung induksi magnetik dari arus searah dengan konfigurasi berbeda dan pada titik-titik tertentu di ruang angkasa, misalnya, induksi magnetik di tengah sirkuit melingkar dengan arus ditemukan oleh rumus berikut:

Arah vektor induksi magnetik mudah ditemukan sesuai dengan aturan gimbal, hanya sekarang gimbal harus diputar ke arah arus tertutup, dan gerakan maju gimbal akan menunjukkan arah vektor induksi magnetik.

Seringkali perhitungan sehubungan dengan medan magnet dapat disederhanakan jika kita memperhitungkan simetri konfigurasi arus yang diberikan oleh medan pembangkit. Di sini Anda dapat menggunakan teorema sirkulasi vektor induksi magnetik (seperti teorema Gauss dalam elektrostatika). Apa itu «sirkulasi vektor induksi magnetik»?

Mari kita pilih loop tertutup tertentu dalam bentuk sembarang dan secara kondisional menunjukkan arah positif perjalanannya Untuk setiap titik loop ini, Anda dapat menemukan proyeksi vektor induksi magnetik B pada garis singgung loop pada titik itu. Maka jumlah produk dari kuantitas ini dengan panjang dasar dari semua bagian kontur adalah sirkulasi vektor induksi magnetik B di sepanjang kontur ini:

Praktis semua arus yang menciptakan medan magnet umum di sini dapat menembus sirkuit yang sedang dipertimbangkan, atau beberapa di antaranya dapat berada di luarnya. Menurut teorema sirkulasi: sirkulasi vektor induksi magnetik B dari arus searah dalam loop tertutup secara numerik sama dengan produk konstanta magnetik mu0 dengan jumlah semua arus searah yang menembus loop. Teorema ini dirumuskan oleh Andre Marie Ampere pada tahun 1826:

Perhatikan gambar di atas. Di sini arus I1 dan I2 menembus sirkuit, tetapi mereka diarahkan ke arah yang berbeda, yang berarti mereka memiliki tanda yang berbeda secara kondisional.Tanda positif akan memiliki arus yang arah induksi magnetiknya (menurut aturan dasar) bertepatan dengan arah bypass dari rangkaian yang dipilih. Untuk situasi ini, teorema sirkulasi berbentuk:

Secara umum, teorema sirkulasi vektor induksi magnetik B mengikuti prinsip superposisi medan magnet dan hukum Biot-Savard.

Sebagai contoh, kami menurunkan rumus induksi magnetik konduktor arus searah. Mari kita pilih kontur dalam bentuk lingkaran, melalui pusat yang dilalui kawat ini, dan kawat tegak lurus terhadap bidang kontur.

Jadi pusat lingkaran terletak tepat di tengah konduktor, yaitu di dalam konduktor. Karena gambarnya simetris, vektor B diarahkan secara tangensial ke lingkaran, dan proyeksinya pada garis singgung sama di mana-mana dan sama dengan panjang vektor B. Teorema sirkulasi ditulis sebagai berikut:

Oleh karena itu, rumus induksi magnetik konduktor lurus dengan arus searah mengikuti (rumus ini telah diberikan di atas). Demikian pula, dengan menggunakan teorema sirkulasi, seseorang dapat dengan mudah menemukan induksi magnetik konfigurasi DC simetris di mana gambar garis medan mudah divisualisasikan.

Salah satu contoh penerapan teorema sirkulasi yang penting secara praktis adalah menemukan medan magnet di dalam induktor toroidal.

Misalkan ada gulungan toroidal yang dililitkan bulat-bulat pada rangka karton berbentuk donat dengan jumlah lilitan N. Pada konfigurasi ini, garis-garis induksi magnet diapit di dalam donat dan berbentuk lingkaran konsentris (dalam satu sama lain). .

Jika Anda melihat ke arah vektor induksi magnet di sepanjang sumbu bagian dalam donat, ternyata arus diarahkan kemana-mana searah jarum jam (sesuai aturan gimbal). Pertimbangkan salah satu garis (ditunjukkan dengan warna merah) induksi magnetik di dalam koil dan pilihlah sebagai lingkaran lingkaran dengan jari-jari r. Kemudian teorema sirkulasi untuk rangkaian tertentu ditulis sebagai berikut:

Dan induksi magnet medan di dalam koil akan sama dengan:

Untuk kumparan toroidal tipis, di mana medan magnetnya hampir seragam di seluruh penampangnya, adalah mungkin untuk menulis ekspresi induksi magnetik seolah-olah untuk solenoida yang panjangnya tak terhingga, dengan mempertimbangkan jumlah lilitan per satuan panjang — N :

Pertimbangkan sekarang solenoida yang panjangnya tak terhingga di mana medan magnet seluruhnya ada di dalam. Kami menerapkan teorema sirkulasi ke kontur persegi panjang yang dipilih.

Di sini vektor induksi magnetik akan memberikan proyeksi bukan nol hanya pada sisi 2 (panjangnya sama dengan L). Dengan menggunakan parameter n — «jumlah putaran per satuan panjang», kita mendapatkan bentuk teorema sirkulasi seperti itu, yang pada akhirnya direduksi menjadi bentuk yang sama dengan kumparan toroidal multitonCoy: