Hukum Aljabar Sirkuit Kontak, Aljabar Boolean

Catatan analitik dari struktur dan kondisi pengoperasian sirkuit relai memungkinkan untuk melakukan transformasi sirkuit yang setara secara analitik, yaitu, dengan mengubah rumus struktural, menemukan skema yang serupa dalam operasinya. Metode konversi secara khusus dikembangkan sepenuhnya untuk rumus struktur yang menyatakan sirkuit kontak.

Untuk sirkuit kontak, peralatan matematika dari aljabar logika digunakan, lebih tepatnya, salah satu varietasnya yang paling sederhana, yang disebut kalkulus proposisi atau aljabar Boolean (menurut ahli matematika abad terakhir J. Boole).

Kalkulus proposisional pada awalnya dikembangkan untuk mempelajari ketergantungan (kebenaran atau kepalsuan penilaian kompleks pada kebenaran atau kesalahan dari proposisi sederhana yang menyusunnya. Intinya, kalkulus proposisional adalah aljabar dua bilangan, yaitu aljabar dalam di mana setiap argumen individu dan setiap fungsi dapat memiliki satu dari dua nilai.

Ini menentukan kemungkinan menggunakan aljabar Boolean untuk mengubah rangkaian kontak, karena setiap argumen (kontak) yang termasuk dalam rumus struktural hanya dapat mengambil dua nilai, yaitu dapat ditutup atau dibuka, dan seluruh fungsi diwakili oleh struktur rumus dapat menyatakan loop tertutup atau terbuka.

Aljabar Boolean memperkenalkan:

1) objek yang, seperti dalam aljabar biasa, memiliki nama: variabel dan fungsi independen — namun, tidak seperti aljabar biasa, dalam aljabar Boolean keduanya hanya dapat mengambil dua nilai: 0 dan 1;

2) operasi logika dasar:

• penambahan logis (atau disjungsi, logis ATAU, dilambangkan dengan tanda ?), yang didefinisikan sebagai berikut: hasil operasi adalah 0 jika dan hanya jika semua argumen operasi sama dengan 0, jika tidak hasilnya adalah 1;

• perkalian logis (atau gabungan, logis DAN, dilambangkan dengan ?, atau tidak ditentukan sama sekali) yang didefinisikan sebagai berikut: hasil operasi adalah 1 jika dan hanya jika semua argumen operasi sama dengan 1, jika tidak hasilnya adalah 0;

• negasi (atau sebaliknya, BUKAN logis, ditunjukkan dengan bilah di atas argumen), yang didefinisikan sebagai berikut: hasil operasi memiliki nilai argumen yang berlawanan;

3) aksioma (hukum aljabar Boolean), yang menentukan aturan untuk mengubah ekspresi logis.

Perhatikan bahwa setiap operasi logis dapat dilakukan baik pada variabel maupun pada fungsi, yang akan disebut fungsi Boolean di bawah... Ingatlah bahwa, dengan analogi dengan aljabar biasa, dalam aljabar Boolean, operasi perkalian logika lebih diutamakan daripada operasi logika operasi penambahan.

Ekspresi Boolean dibentuk dengan menggabungkan operasi logis pada sejumlah objek (variabel atau fungsi), yang disebut argumen operasi.

Transformasi ekspresi logika menggunakan hukum aljabar Boolean biasanya dilakukan dengan tujuan untuk meminimalkan, karena semakin sederhana ekspresinya, semakin kecil kompleksitas rantai logika yang merupakan implementasi teknis dari ekspresi logika tersebut.

Hukum aljabar Boolean disajikan sebagai sekumpulan aksioma dan konsekuensi. Ini dapat diperiksa cukup sederhana dengan mengganti nilai variabel yang berbeda.

Analog teknis dari ekspresi logis apa pun untuk fungsi Boolean adalah diagram logika... Dalam hal ini, variabel yang bergantung pada fungsi Boolean terhubung ke input eksternal sirkuit ini, nilai fungsi Boolean dibentuk di keluaran eksternal dari rangkaian, dan setiap operasi logika dalam ekspresi logika diimplementasikan oleh elemen logika.

Jadi, untuk setiap set sinyal input pada output rangkaian logika, sinyal dihasilkan yang sesuai dengan nilai fungsi boolean dari set variabel ini (selanjutnya, kita akan menggunakan konvensi berikut: 0 — level sinyal rendah , 1 — sinyal tingkat tinggi).

Saat membangun sirkuit logika, kami akan mengasumsikan bahwa variabel diumpankan ke input dalam kode parafase (yaitu, nilai variabel langsung dan terbalik tersedia).

Tabel 1 menunjukkan penunjukan grafis konvensional dari beberapa elemen logika sesuai dengan GOST 2.743-91, serta analog asingnya.

Selain elemen yang melakukan tiga operasi aljabar Boolean (AND, OR, NOT), di tab. 1 menunjukkan elemen-elemen yang melakukan operasi yang diturunkan dari main:

— DAN -BUKAN — negasi perkalian logis, juga disebut langkah Schaefer (dilambangkan dengan |)

— ATAU -BUKAN — negasi dari komplemen logis, juga disebut panah Peirce (dilambangkan dengan ?)

Dengan menghubungkan gerbang logika secara berurutan, Anda dapat mengimplementasikan fungsi Boolean apa pun.

Rumus struktural yang menyatakan rangkaian relai secara umum, yaitu mengandung simbol elang yang bereaksi, tidak dapat dianggap sebagai fungsi dari dua nilai yang hanya menyatakan rangkaian tertutup atau terbuka. Oleh karena itu, saat bekerja dengan fungsi seperti itu, sejumlah dependensi baru muncul yang melampaui batas aljabar Boolean.

Dalam aljabar Boolean, ada empat pasang hukum dasar: dua perpindahan, dua kombinatorial, dua distributif, dan dua hukum inversi. Hukum-hukum ini menetapkan persamaan ekspresi yang berbeda, yaitu, mereka menganggap ekspresi yang dapat saling menggantikan seperti penggantian identitas dalam aljabar biasa. Sebagai lambang persamaan kita ambil lambang yang sama dengan lambang persamaan pada aljabar biasa (=).

Validitas hukum aljabar Boolean untuk rangkaian kontak akan ditetapkan dengan mempertimbangkan rangkaian yang sesuai dengan sisi kiri dan kanan dari ekspresi yang setara.

Hukum perjalanan

Untuk menambahkan: x + y = y + x

Skema yang sesuai dengan ekspresi ini ditunjukkan pada Gambar. 1, sebuah.

Sirkuit kiri dan kanan biasanya adalah sirkuit terbuka, yang masing-masing ditutup ketika salah satu elemen (X atau Y) dipicu, yaitu sirkuit ini setara. Untuk perkalian: x ·y = y ·NS.

Skema yang sesuai dengan ekspresi ini ditunjukkan pada Gambar. 1b, kesetaraan mereka juga jelas.

Beras. 1

Hukum Kombinasi

Untuk penjumlahan: (x + y) + z = x + (y + z)

Untuk perkalian: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Pasangan rangkaian ekuivalen yang sesuai dengan ekspresi ini ditunjukkan pada Gambar. 2, a, b

Beras. 2

Hukum Distribusi

Perkalian versus penjumlahan: (x + y) +z = x + (y + z)

Penjumlahan vs Perkalian. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Skema yang sesuai dengan ekspresi ini ditunjukkan pada Gambar. 3, a, b.

Beras. 3.

Kesetaraan skema ini dapat dengan mudah diverifikasi dengan mempertimbangkan berbagai kombinasi aktuasi kontak.

Hukum inversi

Selain itu: NS + c = NS·c

Bilah di atas sisi kiri ekspresi adalah tanda negasi atau inversi. Tanda ini menunjukkan bahwa seluruh fungsi memiliki arti yang berlawanan sehubungan dengan ekspresi di bawah tanda negasi. Tidak mungkin menggambar diagram yang sesuai dengan seluruh fungsi invers, tetapi Anda dapat menggambar diagram yang sesuai dengan ekspresi di bawah tanda negatif. Dengan demikian, rumus dapat diilustrasikan dengan diagram yang ditunjukkan pada Gambar. 4, sebuah.

Beras. 4.

Diagram kiri sesuai dengan ekspresi x + y, dan yang kanan sesuai dengan NS ·c

Kedua rangkaian ini berlawanan satu sama lain dalam operasinya, yaitu: jika rangkaian kiri dengan elemen X yang tidak tereksitasi, Y adalah rangkaian terbuka, maka rangkaian kanan tertutup. Jika di sirkuit kiri, ketika salah satu elemen dipicu, sirkuit ditutup, dan di sirkuit kanan, sebaliknya, sirkuit terbuka.

Karena, dengan definisi tanda negatif, fungsi x + y adalah invers dari fungsi x + y, maka jelas bahwa x + y = NS·in.

Mengenai perkalian: NS · c = NS + c

Skema yang sesuai ditunjukkan pada gambar. 4, b.

Translokatif dan kombinasional dan hukum dan hukum distributif perkalian sehubungan dengan penjumlahan (sesuai dengan hukum aljabar biasa yang serupa).Oleh karena itu, dalam kasus transformasi rumus struktural dalam urutan penjumlahan dan perkalian suku, penempatan suku di luar tanda kurung dan perluasan tanda kurung, Anda dapat mengikuti aturan yang ditetapkan untuk bekerja dengan ekspresi aljabar biasa. Hukum distributif penjumlahan sehubungan dengan perkalian dan hukum inversi khusus untuk aljabar Boolean.