Dasar dan Hukum Aljabar Logika

Matematikawan Irlandia pada pertengahan abad ke-19 George Banteng mengembangkan aljabar logika ("Studi tentang hukum berpikir"). Karenanya aljabar logika juga disebut aljabar Boolean.

Dengan memberikan penunjukan huruf, mengekspresikan operasi transformasi logis dalam simbol tindakan, dan menggunakan aturan dan aksioma yang ditetapkan untuk tindakan ini, aljabar logika memungkinkan proses penalaran dalam memecahkan masalah yang diberikan dalam bentuk logika pernyataan untuk sepenuhnya dijelaskan dalam algoritma. , yaitu memiliki program yang ditulis secara matematis untuk memecahkan masalah ini.

Untuk menunjukkan kebenaran atau kesalahan pernyataan (yaitu, untuk memperkenalkan nilai untuk mengevaluasi pernyataan), aljabar logika menggunakan sistem biner, yang nyaman dalam kasus ini. Jika pernyataan itu benar, dibutuhkan nilai 1, jika salah, dibutuhkan nilai 0. Tidak seperti bilangan biner, logika 1 dan 0 tidak menyatakan kuantitas, tetapi keadaan.

Jadi, dalam rangkaian listrik yang dijelaskan menggunakan aljabar Boolean, di mana 1 adalah adanya tegangan dan 0 adalah tidak adanya tegangan, suplai tegangan dari beberapa sumber ke satu simpul rangkaian (yaitu, kedatangan beberapa unit logisnya) adalah juga ditampilkan sebagai unit logis yang tidak menunjukkan tegangan total pada node, tetapi hanya keberadaannya.

Saat mendeskripsikan sinyal input dan output dari rangkaian logika, variabel yang digunakan hanya mengambil nilai logis 0 atau 1. Ketergantungan sinyal output pada input ditentukan operasi logis (fungsi)… Mari kita tunjukkan variabel input dengan X1 dan X2, dan output yang diperoleh dengan operasi logis pada mereka dengan y.

Pikirkan baik-baik tiga operasi logika dasar dasar, dengan bantuan yang semakin kompleks dapat dijelaskan.

1. ATAU operasi — tambahan logis:

Mengingat semua nilai variabel yang mungkin, seseorang dapat mendefinisikan operasi OR sebagai kecukupan setidaknya satu unit input untuk menghasilkan satu unit output. Nama operasi tersebut dijelaskan oleh arti semantik gabungan OR dalam frasa: «Jika OR adalah satu masukan ATAU yang kedua adalah satu, maka keluarannya adalah satu.»

2. Operasi DAN — perkalian logis:

Dari mempertimbangkan set lengkap nilai variabel, operasi AND didefinisikan sebagai kebutuhan untuk mencocokkan semua yang ada di input untuk mendapatkan satu di output: “Jika AND adalah satu input dan yang kedua adalah satu, maka keluarannya adalah satu. «

3. Operasi NOT — negasi logis atau inversi. Itu ditunjukkan oleh bilah di atas variabel.

Ketika dibalik, nilai variabel dibalik.

Hukum dasar aljabar logis:

1. Hukum Himpunan Nol: produk dari sejumlah variabel hilang jika salah satu variabelnya nol, terlepas dari nilai variabel lain:

2. Hukum himpunan semesta - jumlah dari sejumlah variabel menjadi satu jika setidaknya salah satu variabel memiliki nilai satu, terlepas dari variabel lainnya:

3. Hukum Pengulangan — variabel berulang dalam ekspresi dapat dihilangkan (dengan kata lain, tidak ada eksponensial dan perkalian dengan koefisien numerik dalam aljabar Boolean):

4. Hukum inversi ganda — inversi yang dilakukan dua kali adalah operasi kosong:

5. Hukum saling melengkapi — produk dari setiap variabel dan inversnya adalah nol:

6. Jumlah setiap variabel dan kebalikannya adalah satu:

7. Hukum Perlindungan — hasil melakukan operasi perkalian dan penjumlahan tidak bergantung pada urutan variabel berikut:

8. Hukum Gabungan — selama operasi perkalian dan penjumlahan, variabel dapat dikelompokkan dalam urutan apapun:

9. Hukum Distribusi — diperbolehkan untuk menempatkan koefisien total di luar tanda kurung:

10. Hukum penyerapan — tunjukkan cara untuk menyederhanakan ekspresi yang melibatkan variabel dalam semua faktor dan suku:

11. Hukum De Morgan — inversi produk adalah jumlah dari inversi variabel:

inversi dari jumlah adalah produk dari inversi variabel: