Aliran dan sirkulasi medan vektor

Berdasarkan materi kuliah Richard Feynman

Saat menjelaskan hukum kelistrikan dalam istilah medan vektor, kita dihadapkan pada dua fitur penting secara matematis dari medan vektor: fluks dan sirkulasi. Alangkah baiknya untuk memahami apa konsep matematika ini dan apa arti praktisnya.

Bagian kedua dari pertanyaan mudah dijawab segera karena konsep aliran dan sirkulasi adalah intinya persamaan Maxwell, yang menjadi dasar semua elektrodinamika modern.

Jadi, misalnya, hukum induksi elektromagnetik dapat dirumuskan sebagai berikut: sirkulasi medan listrik E sepanjang loop tertutup C sama dengan laju perubahan fluks medan magnet B melalui permukaan S yang dibatasi oleh ini. lingkaran B.

Berikut ini, kami akan menjelaskan dengan cukup sederhana, menggunakan contoh cairan bening, bagaimana karakteristik medan ditentukan secara matematis, dari mana karakteristik medan ini diambil dan diperoleh.

Fluks medan vektor

Untuk memulainya, mari kita menggambar permukaan tertutup tertentu dengan bentuk yang sepenuhnya berubah-ubah di sekitar area yang diteliti. Setelah menggambarkan permukaan ini, kami bertanya apakah objek studi, yang kami sebut medan, mengalir melalui permukaan tertutup ini. Untuk memahami semua ini, perhatikan contoh cairan sederhana.

Katakanlah kita sedang menyelidiki medan kecepatan fluida tertentu. Untuk contoh seperti itu, masuk akal untuk bertanya: apakah lebih banyak cairan yang melewati permukaan ini per satuan waktu daripada yang mengalir ke volume yang dibatasi oleh permukaan ini? Dengan kata lain, apakah tingkat aliran keluar selalu diarahkan terutama dari dalam ke luar?

Dengan ungkapan "fluks medan vektor" (dan untuk contoh kita, ungkapan "fluks kecepatan fluida" akan lebih akurat), kami setuju untuk menyebutkan jumlah total fluida imajiner yang mengalir melalui permukaan volume yang dianggap dibatasi oleh diberikan a permukaan tertutup (untuk laju aliran fluida, berapa banyak fluida yang mengikuti dari volume per satuan waktu).

Akibatnya, fluks yang melalui elemen permukaan akan sama dengan perkalian luas elemen permukaan dengan komponen kecepatan yang tegak lurus. Kemudian fluks total (total) di seluruh permukaan akan sama dengan produk dari komponen normal rata-rata kecepatan, yang akan kita hitung dari dalam ke luar, dengan total luas permukaan.

Sekarang kembali ke medan listrik. Medan listrik, tentu saja, tidak dapat dianggap sebagai kecepatan aliran suatu cairan, tetapi kami berhak untuk memperkenalkan konsep matematis aliran, mirip dengan apa yang kami jelaskan di atas sebagai aliran kecepatan cairan.

Hanya dalam kasus medan listrik, fluksnya dapat ditentukan oleh komponen normal rata-rata dari kekuatan medan listrik E. Selain itu, fluks medan listrik dapat ditentukan tidak harus melalui permukaan tertutup, tetapi melalui permukaan yang dibatasi. dengan luas bukan nol S .

Sirkulasi medan vektor

Sudah diketahui semua orang bahwa, untuk lebih jelasnya, medan dapat digambarkan dalam bentuk yang disebut garis gaya, di setiap titik yang arah garis singgungnya bertepatan dengan arah kekuatan medan.

Mari kembali ke analogi fluida dan bayangkan medan kecepatan fluida Mari kita bertanya pada diri sendiri: apakah fluida itu bersirkulasi? Artinya, apakah itu bergerak terutama ke arah beberapa loop tertutup imajiner?

Untuk kejelasan yang lebih besar, bayangkan cairan dalam wadah besar entah bagaimana bergerak (Gbr. A) dan kami tiba-tiba membekukan hampir semua volumenya, tetapi berhasil membuat volumenya tidak beku dalam bentuk tabung tertutup seragam di mana tidak ada gesekan cairan pada dinding (gbr. b).

Di luar tabung ini, cairan telah berubah menjadi es dan karena itu tidak dapat lagi bergerak, tetapi di dalam tabung cairan dapat melanjutkan gerakannya, asalkan ada momentum yang mendorongnya, misalnya searah jarum jam (Gbr. 1). .°C). Maka hasil kali kecepatan fluida dalam tabung dan panjang tabung akan disebut sirkulasi kecepatan fluida.

Demikian pula, kita dapat mendefinisikan sirkulasi untuk medan vektor, meskipun sekali lagi medan tidak dapat dikatakan sebagai kecepatan apa pun, namun kita dapat mendefinisikan karakteristik matematis "sirkulasi" di sepanjang kontur.

Jadi, sirkulasi medan vektor sepanjang loop tertutup imajiner dapat didefinisikan sebagai produk dari komponen tangensial rata-rata vektor dalam arah lintasan loop - dengan panjang loop.