Metode simbolis untuk menghitung sirkuit AC

Metode operasi simbolik dengan besaran vektor didasarkan pada ide yang sangat sederhana: setiap vektor didekomposisi menjadi dua komponen: satu horizontal, melewati absis, dan yang kedua, vertikal, melewati ordinat. Dalam hal ini, semua komponen horizontal mengikuti garis lurus dan dapat dijumlahkan dengan penjumlahan aljabar sederhana, dan komponen vertikal ditambahkan dengan cara yang sama.

Pendekatan ini umumnya menghasilkan dua komponen resultan, horizontal dan vertikal, yang selalu berdekatan satu sama lain pada sudut 90° yang sama.

Komponen-komponen ini dapat digunakan untuk mencari hasil, yaitu untuk penjumlahan geometri. Komponen siku-siku mewakili kaki segitiga siku-siku, dan jumlah geometrisnya mewakili sisi miring.

Anda juga dapat mengatakan bahwa jumlah geometrik secara numerik sama dengan diagonal jajaran genjang yang dibangun di atas komponen dan juga di sisinya... Jika komponen horizontal dilambangkan dengan AG dan komponen vertikal dengan AB, maka jumlah geometrik ( 1)

Menemukan jumlah geometris segitiga siku-siku jauh lebih mudah daripada segitiga miring. Sangat mudah untuk melihat bahwa (2)

menjadi (1) jika sudut antar komponen adalah 90 °. Karena cos 90 = 0, suku terakhir dalam ekspresi akar (2) menghilang, akibatnya ekspresi tersebut sangat disederhanakan. Perhatikan bahwa salah satu dari tiga kata harus ditambahkan sebelum kata "jumlah": "aritmatika", "aljabar", "geometris".

Ara. 1.

Kata "jumlah" tanpa menentukan yang mengarah pada ketidakpastian dan dalam beberapa kasus kesalahan besar.

Ingatlah bahwa vektor yang dihasilkan sama dengan jumlah aritmatika dari vektor jika semua vektor berjalan sepanjang garis lurus (atau sejajar satu sama lain) dalam arah yang sama. Selain itu, semua vektor memiliki tanda tambah (Gbr. 1, a).

Jika vektor mengikuti garis lurus tetapi menunjuk ke arah yang berlawanan, maka hasilnya sama dengan jumlah aljabar vektor, dalam hal ini beberapa suku memiliki tanda plus dan yang lainnya memiliki tanda minus.

Misalnya, dalam diagram gambar. 1, b U6 = U4 — U5. Kita juga dapat mengatakan bahwa jumlah aritmatika digunakan dalam kasus di mana sudut antara vektor adalah nol, aljabar dengan sudut 0 dan 180 °. Dalam semua kasus lain, penjumlahan dilakukan secara vektor, yaitu jumlah geometris ditentukan (Gbr. 1, c).

Contoh... Tentukan parameter gelombang sinus ekuivalen untuk rangkaian Gambar. 2, tetapi simbolis.

Menjawab. Mari menggambar vektor Um1 Um2 dan menguraikannya menjadi komponen. Terlihat dari gambar bahwa setiap komponen horizontal adalah nilai vektor dikalikan cosinus sudut fasa, dan komponen vertikal adalah nilai vektor dikalikan sinus sudut fasa. Kemudian

Ara. 2.

Jelas, total komponen horizontal dan vertikal sama dengan jumlah aljabar dari komponen yang sesuai. Kemudian

Komponen yang dihasilkan ditunjukkan pada Gambar. 2, b. Tentukan nilai Um untuk ini, hitung jumlah geometris dari dua komponen:

Tentukan sudut fase ekivalen ψeq. Ara. 2, b, terlihat bahwa perbandingan komponen vertikal dan horizontal adalah garis singgung dari sudut fasa ekuivalen.

Di mana

Sinusoid yang diperoleh memiliki amplitudo 22,4 V, fase awal 33,5 ° dengan periode yang sama dengan komponen. Perhatikan bahwa hanya gelombang sinus dengan frekuensi yang sama yang dapat ditambahkan, karena ketika menambahkan kurva sinus dengan frekuensi berbeda, kurva yang dihasilkan berhenti menjadi sinus dan semua konsep yang hanya berlaku untuk sinyal harmonik menjadi tidak valid dalam kasus ini.

Mari kita telusuri kembali seluruh rantai transformasi yang harus dilakukan dengan deskripsi matematis dari bentuk gelombang harmonik saat melakukan berbagai perhitungan.

Pertama, fungsi temporal diganti dengan gambar vektor, kemudian setiap vektor didekomposisi menjadi dua komponen yang saling tegak lurus, kemudian komponen horizontal dan vertikal dihitung secara terpisah, dan terakhir nilai vektor yang dihasilkan dan fase awalnya ditentukan.

Metode perhitungan ini menghilangkan kebutuhan untuk menambahkan secara grafis (dan dalam beberapa kasus melakukan operasi yang lebih kompleks, misalnya mengalikan, membagi, mengekstrak akar, dll.) kurva sinusoidal dan menggunakan perhitungan menggunakan rumus segitiga miring.

Namun, agak rumit untuk menghitung komponen operasi horizontal dan vertikal secara terpisah.Dalam perhitungan seperti itu, sangat mudah untuk memiliki alat matematika yang dapat digunakan untuk menghitung kedua komponen sekaligus.

Sudah di akhir abad yang lalu, sebuah metode dikembangkan yang memungkinkan penghitungan angka secara simultan yang diplot pada sumbu yang saling tegak lurus. Angka pada sumbu horizontal disebut nyata, dan angka pada sumbu vertikal disebut imajiner. Saat menghitung angka-angka ini, faktor ± 1 ditambahkan ke bilangan real, dan ± j ke bilangan imajiner (dibaca "xi"). Bilangan yang terdiri dari bagian nyata dan imajiner disebut kompleks, dan metode perhitungan yang dilakukan dengan bantuan mereka bersifat simbolis.

Mari kita jelaskan istilah «simbolis». Fungsi yang akan dihitung (harmonik dalam hal ini) adalah asli, dan ekspresi yang menggantikan aslinya adalah gambar atau simbol.

Saat menggunakan metode simbolik, semua perhitungan dilakukan bukan pada aslinya sendiri, tetapi pada simbolnya (gambar), yang dalam kasus kami mewakili bilangan kompleks yang sesuai, karena melakukan operasi pada gambar jauh lebih mudah daripada pada aslinya sendiri.

Setelah semua operasi gambar selesai, sumber asli yang sesuai dengan gambar yang dihasilkan direkam pada gambar yang dihasilkan. Sebagian besar perhitungan dalam rangkaian listrik dilakukan dengan menggunakan metode simbolik.